定理1. Lebusgue 定理 设 \(Q \subset \mathbb{R}^n\) 为闭方体，\(f: Q \rightarrow \mathbb{R}\) 为有界函数，记 \(D= \{x\in Q, f 在 x 点不连续\}\). 则 \(f\) Riemann 可积当且仅当 \(m^*(D)=0\). Remark. 函数在一点的振幅： \[ \omega_x=\lim_{\delt

反函数定理 我们来讨论一个重要定理，反函数定理 设 \(f: X\to Y\), \(A,B\) 分别为 \(X,Y\) 为非空子集，\(f(A)\subset B\) 我们用 \(f:A\to B\) 表示与 \(f:X\to Y\) 具有相同的对应法则. 定理1.反函数定理 设 \(f\in C^1 (\Omega,\mathbb{R}^n)\), \(\Omega\) 为开集, 设 \(x_

对多元函数微分做一个小小的总结 方向导数和偏导数 Def 1. 设开集 \(D \subset \mathbb{R}\) , 函数 \(f: D \to \mathbb{R}\) ,\(u\) 是一个方向, \(x_0 \in D\) 若 \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + hu) - f(x_0)}{h} = L(u) \] 存在且有限，则称 \(L(u)\) 是函数

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 W

代数基本定理 复数域上一个\(n\) 次多项式恰有\(n\) 个根，包括重根. Thm.\(f(x) \in \mathbb{R}[x]\), 若 \(\alpha=a+bi\) 是 \(f(x)=0\) 的一个复根，则 \(\bar{\alpha}=a-bi\) 也是 \(f(x)=0\) 的一个复根. Thm. 实数域上的一个\(n\) 次多项式可以分解为一些一次因式和二次因式的乘积. 有理数

集合的紧性 下面证明 Frechet 紧集是有界闭集. 设 \(x_i \in A,~ i=1,2\cdots~ x_i \to x_0\) 我们需证\(x_0 \in A\). 设 \(x_0 \notin A\). 令 \(B=\{x_k,~k=1,2\cdots\}\) 显然\(B\)为无限集，且\(B\)在\(A\)中无聚点。 设\(x_0\) 是\(A\) 的聚点，且\(\forall

本节主要讨论了集合的紧性. 闭集套定理 定理1. 设 \(F_k \subset \mathbb{R}^n\) 为非空闭集,\(k=1,2 \cdots\) 若 1. \(~~F_{k+1}\subset F_{k}\) \(\mathrm{diam} ~ F_k \to 0\) 则有 \(\bigcap_{i=1}^{+\infty}F_k =\{x_0\}\) Proof. 我们首先证明

不可约多项式和因式分解唯一性定理 不可约多项式(类比素数): \(P(x)\in \mathbb{F}[x], \deg P \geq 1\) 则称 \(P(x)\) 为不可约多项式当且仅当\(P\) 不能分解为两个次数更低的多项式的乘积. 性质1: 一个不可约多项式\(p\)的因子只能为 \(c\) 或 \(cp\) . Remark: 一个多项式是否可约是和数域相关的. 性质2: 假设\(p(